Quelques années plus tard, il déménage avec sa famille à Phoenix dans l'Arizona.
C'est là plus tard qu'il fréquentera la Cortez High School et montera avec ses copains de classe Glen Buxton,Michael Bruce,Dennis Dunaway et Neal Smith un groupe de rock.
Ces racines scolaires et adolescentes contribueront à la force et à la cohésion future du groupe. À l'époque, leur répertoire se compose principalement de chansons des Rolling Stones et des Beatles, dont ils jouent le répertoire en playback. Le jeune groupe adoptera différents noms comme The Earwings (les « perce-oreille ») en 1964, puis The Spiders (« les araignées ») et The Nazz en 1965.
En 1968, ils réapparaissent à Los Angeles sous le nom d'Alice Cooper. Une légende dit que, étant jeune, Furnier est allé à une séance de spiritisme au cours de laquelle une sorcière lui dit de se produire sous son nom. Cette sorcière s'appelait Alice Cooper. Cette légende a, par la suite, été démentie par Cooper lui-même. En fait, en 1968, ils s'aperçoivent que Todd Rundgren a lui aussi un groupe qui s'appelle The Nazz. Ils prennent alors Alice Cooper comme nom de groupe, d'abord pour choquer, car tous les membres sont de sexe masculin. Ensuite, Vincent prend ce nom pour lui-même, pour choquer d'avantage le public, arrivant même sur scène en robe. Ils jouent dans les bars et boîtes de nuit avant d'être dénichés par Frank Zappa qui les engage sur son nouveau label, Straight.
Des groupes phares comme les Yardbirds, The Who, The Beatles et The Rolling Stones comptent parmi les principales inspirations musicales du Alice Cooper Group, qui développe un shock rock direct et énergique. Mais c'est surtout au niveau de la scène ce groupe laisse son empreinte. En effet, l'image androgyne et choquante d'Alice Cooper, novatrice pour l'époque, influencera plusieurs groupes qui suivront comme Kiss, David Bowie, Lordi, Twisted Sister, W.A.S.P., Rob Zombie, King Diamond et Marilyn Manson, pour ne nommer que les plus connus.

